Analyse:Wpi/Fragment 064 01

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 64, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 84, Zeilen: 4-25

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\;&\;&\text{Setzt man nun }  [sic!] N=t+1  [sic!] \text{ und definiert Steuerungsfunktionen } u_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}\\ &\quad\;&\;&\text{für }  [sic!]\; i=1,\ldots,n  [sic!] \text{ durch} \end{alignat*} } $u_{i}(s)={\begin{cases}u_{i}^{s}&{\text{ für }}s=0,\ldots ,N-1,\\\theta _{m_{i}}&{\text{ für }}s\geq N,\end{cases}}$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\;&\;&\;\;\text{und Zustandsfunktionen } x_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ durch} \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} x_i(0) &= x_{0i},\\ x_i(s) &= \begin{cases} x_i(u^{s-1})(s) &\text{ für } s=1,\ldots,N-1,\\ \widehat{x}_i &\text{ für } s \ge N, \end{cases} \end{align*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{so hat man eine Lösung des Kontrollproblems gewonnen. Nun kann aber}\\ &\quad\; &\;&\text{auch das soeben bestimmte }  [sic!]\; u^t  [sic!]\text{ dazu führen, daß }  [sic!]\; \varphi_t(u^t) > 0  [sic!] \text{ ist, was im}\\ &\quad\; &\;&\text{zweiten Fall betrachtet werden soll.}\\ &\quad\; &\;&\text{}\\ &\textbf{(b)}&\;&\varphi_t(u^t) > 0\;:\\ &\quad\; &\;&\;\text{Dann berechnet man}\\ \end{alignat*} } $x_{i}(t+1)=x_{i}(u^{t})(t+1){\text{ für }}i=1,\ldots ,n$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\;\text{und löst das Problem  [sic!]  (3.2.36) mit } t + 1 \text{ anstelle von } t \;. \end{alignat*} } Das kooperative Verhalten der Spieler drückt sich in dem folgenden Satz aus: Satz 3.2.1 Jede Lösung $u^t \in Z_t$ des Problems (3.2.36) ist ein Pareto-Optimum. Somit folgt für jedes  [sic!]\;$u \in Z_t$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u) \le v^t_i(u^t) \textit{ für alle } i=1,\ldots,n \tag{3.2.28} \end{equation*} } notwendigerweise Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u) = v^t_i(u^t) \textit{ für alle } i=1,\ldots,n. \tag{3.2.29} \end{equation*} } Der Beweis ist identisch mit der Beweisführung des entsprechenden Satzes im ersten Kapitel. Aus Gründen der Übersichtlichkeit war nur dort noch nicht von einem allgemeinen dynamischen System die Rede. Abschließend soll sich einem Spezialfall zugewandt werden:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{Setzt man } N=t+1 \text{ und definiert Steuerungsfunktionen } u_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ durch} \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_i(t) = \begin{cases} u_{ti} &\text{ für } t=0,\ldots,N-1\;, \\ \theta_{m_i} &\text{ für } t \ge N \end{cases} \tag{3.36} \end{equation*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{sowie Zustandsfunktionen } x_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ durch}\\ \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad x_i(0) &= x_{0i},\\ x_i(t) &= \begin{cases} x_i(u_{t-1}(t)) &\text{ für } t=1,\ldots,N-1\;,\\ \qquad\quad\;\hat{x}_i &\text{ für } t \ge N\;, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.37} \end{align*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{so hat man eine Lösung des Problems der Steuerbarkeit gewonnen.}\\ &\text{(b)} &\;&\varphi_t(u_t) > 0.\\ &\quad\; &\;&\text{Dann setzen wir}\\ \end{alignat*} } $x_{i}(t+1)=x_{i}(u_{t})(t+1){\text{ für }}i=1,\ldots ,n$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{und lösen das Problem (3.35) mit } t + 1 \text{ anstelle } t. \end{alignat*} } Ein Ausdruck für die Kooperation der Spieler ist der folgende Satz 3.4: Jede Lösung $u_t \in Z_t$ des Problems (3.35) ist ein sog. Pareto-Optimum, d.h., für jedes $u \in Z_t$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u) \le a^t_i(u_t) \text{ für alle } i=1,\ldots,n\;, \end{equation*} } folgt notwendig Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u) = a^t_i(u_t) \text{ für alle } i=1,\ldots,n\;. \end{equation*} } Der Beweis dieses Satzes ist der gleiche wie der von Satz 3.1. Das gleiche gilt für seine inhaltliche Interpretation. Ein Spezialfall:

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Eine Verwendung von Satz 3.2.1 in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. Dieser Satz steht somit nicht im Kontext der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH