Ist , dann ist die Aussage
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi^k_N(u^{k+1}) \le \varphi^k_N(u) \text{ für alle } u \in Z_N \tag{3.2.56} \end{equation*} }
äquivalent zu
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi^k_N(u^{k+1}), u - u^{k+1} \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_N\;, \tag{3.2.57} \end{equation*} }
wobei das Skalarprodukt auf und
mit , , für und ist.
Mit der Definition des Skalarproduktes in folgt unmittelbar, daß [sic!] (3.2.57) äquivalent zu dem folgenden Problem ist
für alle [sic!] wobei das Skalarprodukt auf für ist. Diese Darstellung ist wiederum gleichwertig mit (siehe [sic!] (3.2.44))
Diese Forderung ist erfüllt für
für und .
Mithilfe dieser gewonnenen Darstellung ist es nun wieder möglich, einen Algorithmus für die Bestimmung der anzugeben. Es sei nun (siehe (3.2.55)) eine Lösung unseres Approximationsproblems für ein . Dann berechnen wir
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[S. 84, 18-22]
Satz 3.4 Jede Lösung des Problems (3.35) ist ein sog. Pareto-Optimum, d.h., für jedes mit
folgt notwendig
[S. 85, 7 ff. (bis Seitenende)]
Daraus folgt für jedes die Existenz eines mit (3.35), falls nichtleer ist.
Das ist z.B. der Fall, wenn gilt
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad X_i =\mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;; \tag{3.39} \end{equation*} }
denn dann ist für alle .
Definiert man für jedes
wobei
und
mit
so ist (3.35) gleichbedeutend mit
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi_t(u_t), u - u_t \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_t\;, \tag{3.40} \end{equation*} }
wobei gilt
Speziell für
mit vorgegebenen Zahlen erweist sich (3.40) als gleichwertig zu
was erfüllt ist, wenn
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_{is} = \begin{cases} \frac{M_s}{\| \nabla_s \varphi_t(u_t) \|_2} \nabla_s \varphi_t(u_t), & \text{ falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) \ne \theta_{m_s},\\ \qquad\qquad\qquad\quad \theta_{m_s}, & \text{ falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) = \theta_{m_s}, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.41} \end{equation*} }
ist.
[S. 94, 9-17]
Seien Steuerungsfunktionen mit
derart, daß unter den Bedingungen
und
für der Funktionswert
minimal ausfällt.
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