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Typus
Verschleierung
Bearbeiter
BaronMuenchhausen, Lascana
Gesichtet
No
Untersuchte Arbeit:
Seite: 81, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)
Quelle: Krabs 1998
Seite(n): 84, 85, 94, Zeilen: 84: 18-22; 85: 7 ff. (bis Seitenende); 94: 9-17
Ist , dann ist die Aussage

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi^k_N(u^{k+1}) \le \varphi^k_N(u) \text{ für alle } u \in Z_N \tag{3.2.56} \end{equation*} }

äquivalent zu

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi^k_N(u^{k+1}), u - u^{k+1} \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_N\;, \tag{3.2.57} \end{equation*} }

wobei das Skalarprodukt auf und

mit , , für und ist.
Mit der Definition des Skalarproduktes in folgt unmittelbar, daß  [sic!] (3.2.57) äquivalent zu dem folgenden Problem ist

für alle [sic!] wobei das Skalarprodukt auf für ist. Diese Darstellung ist wiederum gleichwertig mit (siehe  [sic!] (3.2.44))

Diese Forderung ist erfüllt für

für und .
Mithilfe dieser gewonnenen Darstellung ist es nun wieder möglich, einen Algorithmus für die Bestimmung der anzugeben. Es sei nun (siehe (3.2.55)) eine Lösung unseres Approximationsproblems für ein . Dann berechnen wir

[S. 84, 18-22]

Satz 3.4 Jede Lösung des Problems (3.35) ist ein sog. Pareto-Optimum, d.h., für jedes mit

folgt notwendig

[S. 85, 7 ff. (bis Seitenende)]

   Daraus folgt für jedes die Existenz eines mit (3.35), falls nichtleer ist.
Das ist z.B. der Fall, wenn gilt

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad X_i =\mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;; \tag{3.39} \end{equation*} }

denn dann ist für alle .
Definiert man für jedes

wobei

und

mit

so ist (3.35) gleichbedeutend mit

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi_t(u_t), u - u_t \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_t\;, \tag{3.40} \end{equation*} }

wobei gilt

Speziell für

mit vorgegebenen Zahlen erweist sich (3.40) als gleichwertig zu

was erfüllt ist, wenn

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_{is} = \begin{cases} \frac{M_s}{\| \nabla_s \varphi_t(u_t) \|_2} \nabla_s \varphi_t(u_t), & \text{ falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) \ne \theta_{m_s},\\ \qquad\qquad\qquad\quad \theta_{m_s}, & \text{ falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) = \theta_{m_s}, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.41} \end{equation*} }

ist.

[S. 94, 9-17]

Seien Steuerungsfunktionen mit

derart, daß unter den Bedingungen

und

für der Funktionswert

minimal ausfällt.

Anmerkungen

(1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998.

(2) Versatzstück aus Fragment_065_01 und Fragment_066_01.

Sichter
(BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH