VroniPlag Wiki

This Wiki is best viewed in Firefox with Adblock plus extension.

MEHR ERFAHREN

VroniPlag Wiki
Registrieren


Typus
BauernOpfer
Bearbeiter
HanneloreH, BaronMuenchhausen
Gesichtet
Yes
Untersuchte Arbeit:
Seite: 103, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)
Quelle: Sebastian Sieber 1981
Seite(n): 25, Zeilen: 1-37
Es sei nun beliebig, und die Behauptung gelte für dieses . Nun ist nach der Induktionsannahme zu zeigen, daß die Beziehung in (4.1.35) auch für gilt, d.h.:

für

und jede beliebige zulässige Entscheidungspolitik . Mit (4.1.26) gilt nun

Im folgenden sei nun wieder Wir stellen uns weiter vor, daß beliebig aber fest gewählt wird. Dann gilt mithilfe der Induktionsannahme:

Diese Beziehung gilt für alle und alle zulässigen .[sic!] Wir bilden nun auf der linken Seite das Maximum hinsichtlich . [sic!] Ein optimales wird dann wieder mit bezeichnet. Somit erhalten wir

Wenn wir wieder als variabel ansehen und dann bzw. setzen, dann bleibt die letzte Bedingung für alle gültig.

Da somit eine optimale Politik für einen Teilprozeß nur den von abhängigen Wert liefert, ist es möglich, den folgenden wichtigen Satz [uNS80] zu formulieren, der eine Form des Bellmannschen Optimalitätsprinzips darstellt:

Satz 4.1.6 Es seien (4.1.32) wieder die Bellmannschen Funktionalgleichungen. Dann gibt es eine optimale Strategie des erst auf der Stufe beginnenden Teilprozesses , die nur von dem Eingangszustand abhängt.

Wir nehmen nun an, der Satz gelte für beliebiges Dann ist zu zeigen, daß er auch für gilt. Die Induktionsannahme lautet

für und jede beliebige zulässige Entscheidungspolitik . Nun ist wegen (1.31)

Wir setzten wieder für festes und erhalten nach der Induktionsannahme

mit und für alle zulässigen
Auf der linken Seite dieser Ungleichung wird das Maximum bezüglich gebildet. Ein maximierendes wird wieder mit bezeichnet; dann gilt:

Für die linke Seite gilt laut Induktionsannahme und wegen (1.31) und (1.36):

Wenn wir wieder als variabel ansehen und dann bzw. setzen, bleibt die letzte Bedingung für gültig. Dann folgt aus (1.37)

für jede zulässige Entscheidungspolitik .

Somit ist der Induktionsnachweis erbracht und der Satz bewiesen. Die Bellmannschen Funktionalgleichungen können somit als hinreichende Bedingungen für optimale Entscheidungspolitiken angesehen werden.

Eine optimale Politik eines mit dem Anfangszustand beginnenden Teilprozesses liefert den nur von abhängigen Wert (1.34)

Eine Änderung der vorhergehenden Entscheidungsfunktionen des Gesamtprozesses , die den Zustand zu Beginn der -ten Stufe nicht ändert, beeinflußt den Wert von nicht. Somit gilt der

Satz 1.2: Es gibt eine optimale Politik eines auf der Stufe beginnenden -stufigen Teilprozesses , die nur von dem Eingangszustand und nicht von den vorhergehenden Entscheidungen abhängt.

Anmerkungen

(1) Die betrachtete Arbeit folgt auf den Seiten 94-111 (= 18 Seiten) gänzlich der Quelle Sebastian Sieber 1981 ab Seite 17. Dies gilt für Herleitungen, Algorithmen, Sätze und deren Beweise. Eine Verwendung dieser Aussagen zur Entwicklung von neuen Erkenntnissen ist nicht ersichtlich.

(2) Die betrachtete Arbeit nennt "[uNS80]" vor Satz 4.1.6, daher die - konservative - Einstufung als Bauernopfer.

(3) Eine Verwendung von Satz 4.1.6 in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar (mathematisch wirkendes Füllmaterial).

Sichter
(HanneloreH, BaronMuenchhausen), Lascana, Primzahl