Analyse:Wpi/Fragment 161 01

Typus: BauernOpfer

Bearbeiter: BaronMuenchhausen

Gesichtet

Untersuchte Arbeit:
Seite: 161, Zeilen: 1-14, 24-25, 29 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Brayton und Tong 1979
Seite(n): 229, 231, 232, Zeilen: 43-47, rechte Spalte; 30-32, rechte Spalte; 10-14 linke Spalte

[S. 161, 1-14]
Wir nehmen nun an, daß 
  
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
        ∈
        ∂
        B
      
    {\displaystyle  x(t_1) \in \partial B }
  
 sei, d.h. die Trajektorie 
  
        x
        (
        t
        )
      
    {\displaystyle x(t)}
  
 befindet sich zum Zeitpunkt 
  
          t
          1
        
    {\displaystyle t_1}
  
 auf dem Rand 
  
        ∂
        B
      
    {\displaystyle  \partial B }
  
. Mit dem Theorem von Henrici ist es möglich für 
  
          t
          2
        
        >
        
          t
          1
        
    {\displaystyle t_2>t_1}
  
 eine Folge von Matrizen 
  
          M
          i
        
        ∈
        
            M
          
          ∗
          ′
        
    {\displaystyle  M_i \in \mathcal{M}'_* }
  
 zu bestimmen, so daß

          lim
          
            t
            →
            ∞
          
          M
          i
        
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
        =
        x
        (
        
          t
          2
        
        )
      
    {\displaystyle  \underset{t \rightarrow \infty}{\lim} M_i x(t_1) = x(t_2)
}
  
ist. Alle Abbildungen 
  
          M
          i
        
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
      
    {\displaystyle  M_i x(t_1) }
  
 liegen jedoch in 
  
        B
      
    {\displaystyle B}
  
. Demnach liegt auch 
  
        x
        (
        
          t
          2
        
        )
        ∈
        B
      
    {\displaystyle  x(t_2) \in B }
  
 und somit gilt für 
  
          t
          2
        
        >
        
          t
          1
        
    {\displaystyle t_2>t_1}
  
, 
  
          L
        
        (
        
          t
          2
        
        )
        >
        
          L
        
        (
        
          t
          1
        
        )
      
    {\displaystyle  \mathcal{L}(t_2) > \mathcal{L}(t_1) }
  
, d.h. 
  
          L
        
    {\displaystyle \mathcal{L}}
  
 ist eine Liapunov-Funktion des kontinuierlichen Systems. 
  
        ◻
      
    {\displaystyle \Box}
  
Somit haben wir mithilfe eines konstruktiven Verfahrens, einen Algorithmus gewonnen, der eine Stabilitätsaussage über das allgemeine dynamische System ermöglicht und innerhalb der Modellierung eine allgemeine Kostenabhängigkeit zuläßt.

          M
          1
        
        =
        
          (
          
                a
              
                1
              
                b
              
                0
              
          )
        
          M
          2
        
        =
        
          (
          
                0
              
                1
              
                b
              
                0
              
          )
        
        (
        6.6.30
        )
      
    {\displaystyle   M_1 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{pmatrix} \qquad
        M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ b & 0 \end{pmatrix} \qquad\qquad (6.6.30)
}
  
mit der Menge 
  
          M
        
        =
        {
        
          M
          1
        
        ,
        
          M
          2
        
        }
      
    {\displaystyle  \mathcal{M} = \{ M_1, M_2 \} }
  
 die entsprechenden Stabilitätsgebiete bestimmen und den Einfluß der Diskretisierung erfassen.
[S. 161, 24-25]
Wir nennen diese Gebiete kurz Stabilitätsgebiete.
[S. 161, 29 ff. (bis Seitenende)]
Weiterhin zeigt sich bei einer Verfeinerung der Diskretisierung, daß die Rechenzeit exponentiell ansteigt. Hierfür ist nicht die Anzahl der Gitterpunkte verantwortlich, sonder die Zunahme der Ungenauigkeit im Grenzbereich. Auf eine ausführliche Darstellung sei an dieser Stelle verzichtet,

[S. 232, 10-14 linke Spalte]
Suppose 
  
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
        ∈
        ∂
        W
      
    {\displaystyle  x(t_1) \in \partial W }
  
. Then for 
  
          t
          2
        
        >
        
          t
          1
        
    {\displaystyle t_2>t_1}
  
, there exists a sequence of matrices 
  
          B
          i
        
        ∈
        
          A
          0
          ′
        
    {\displaystyle  B_i \in A'_0 }
  
 such that

          lim
          
            t
            →
            ∞
          
        (
        
          B
          i
        
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
        )
        =
        x
        (
        
          t
          2
        
        )
        .
      
    {\displaystyle  \underset{t \rightarrow \infty}{\lim} (B_i x(t_1)) = x(t_2).
}
  
Since 
  
          B
          i
        
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
        ∈
        W
      
    {\displaystyle  B_i x(t_1) \in W }
  
, then 
  
        x
        (
        
          t
          2
        
        )
        ∈
        
          W
          ¯
        
    {\displaystyle  x(t_2) \in \overline{W} }
  
. Hence, 
  
        w
        (
        x
        (
        
          t
          2
        
        )
        )
        ≤
        w
        (
        x
        (
        
          t
          1
        
        )
        )
      
    {\displaystyle  w(x(t_2)) \le w(x(t_1)) }
  
 for 
  
          t
          2
        
        >
        
          t
          1
        
    {\displaystyle t_2>t_1}
  
.
[S. 231, 30-32, rechte Spalte]
Theorem 9 can be used with the constructive method to prove the stability of nonlinear systems of differential equations.
[S. 229, 43-47, rechte Spalte]
We apply this new method to find the true regions of stability for Willson’s set 
  
        A
        =
        {
        
          M
          1
        
        ,
        
          M
          2
        
        }
      
    {\displaystyle  A = \{ M_1,M_2 \} }
  
, where

          M
          1
        
        =
        
          (
          
                a
              
                1
              
                b
              
                0
              
          )
        
          M
          2
        
        =
        
          (
          
                r
                a
              
                1
              
                b
              
                0
              
          )
        
        ,
        
          |
        
        r
        
          |
        
        ≤
        1
        ,
        
        a
        ,
        b
        ∈
        
          R
        
        .
      
    {\displaystyle   M_1 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{pmatrix} \;
        M_2 = \begin{pmatrix} ra & 1 \\ b & 0 \end{pmatrix}, \quad
        |r| \le 1, \; a,b \in \mathbb{R}.
}
  
The algorithm, based on the criteria mentioned in the previous section, was computer-implemented in APL.
[S. 239, 12-16, linke Spalte]
However, the amount of computer time increased significantly as we approached a point 
  
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    {\displaystyle (a,b)}
  
 on the boundary of the stability region for 
  
          S
          
            r
          
    {\displaystyle S_{r}}
  
 (the set of all points 
  
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    {\displaystyle (a,b)}
  
 for fixed 
  
        r
      
    {\displaystyle r}
  
 that give rise to a stable set 
  
        A
      
    {\displaystyle A}
  
).

Anmerkungen

(1) Versatzstück aus verschiedenen Passagen der Quelle Brayton und Tong 1979.

(2) Vor Satz 6.6.2 (S. 160) wird [BT79] erwähnt. Die Darstellung folgt jedoch dem Textfluss der Quelle Brayton und Tong 1979. Der Satz und der zugehörige Beweis (bis S. 161, Zeile 7) werden direkt übernommen, eine eigenständige (neue) Beweisführung erfolgt nicht.

(3) Die Passage nach Ende des Beweises ist vollständig und ohne Angabe der Quelle aus Brayton und Tong 1979 übernommen. Durch solche Einschübe wird der Eindruck eigenständiger Überlegungen erzeugt. Tatsächlich folgt das gesamte Kapitel 6 der Darstellung von Brayton und Tong 1979. Eine Einstufung als Übersetzungsplagiat wäre daher denkbar. Aufgrund der Erwähnung von [BT79] auf S. 160 erfolgt - konservativ - die Einstufung als Bauernopfer.

(4) Besonders auffällig ist die folgende Passage:

"Meine Berechnungen können durch die Ergebnisse in [BT79] Bestätigung finden. Ebenfalls wird dort gezeigt, daß die ermittelten Stabilitätsbereiche nicht notwendigerweise konvex sein müssen, was ich ebenfalls mit meinen Berechnungen zeigen konnte, wenn man die Diskretisierung verfeinert."

Der Autor der betrachteten Arbeit erweckt den Eindruck eigenständiger Überlegungen und Ergebnisse. Die Beschreibung des Autors wirkt so, als würde die Quelle Brayton und Tong 1979 die Ergebnisse des Autors replizieren. Tatsächlich folgt das Fragment lediglich der Darstellung in der Quelle Brayton und Tong 1979. Neue Erkenntnisse sind nicht ersichtlich.

Sichter: (BaronMuenchhausen), HanneloreH, Lascana